SUCESIONES

SUCESIONES:

Una sucesión es un conjunto ordenado de números reales: a₁, a₂, a₃, a₄, …

Cada elemento de la sucesión se denomina término, el subíndice es el lugar que ocupa en la sucesión.

El primer término es a₁, el segundo a₂, el tercero a₃ … 

Ejemplo: En la sucesión de los números pares:

                                   2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …..

¿Cuál es el primer término?

                        2

¿Cuál es el quinto término?  

                        10

Tipos de sucesiones

Sucesiones monótonas

Sucesiones estrictamente crecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.

a_n+1 > a_n

2, 5, 8, 11, 14, 17,...

5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...

Sucesiones crecientes

Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

a_n+1 ≥ a_n

2, 2 , 4, 4, 8, 8,...

2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...

Sucesiones estrictamente decrecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.

a_n+1 < a_n

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...

1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...

Sucesiones decrecientes

Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.

a_n+1 ≤ a_n

Sucesiones constantes

Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, a_n= k.

a_n = a_n+1

5, 5, 5, 5, ...

Sucesiones acotadas inferiormente

Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.

a_n ≥ k

A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.

Sucesiones acotadas superiormente

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.

a_n ≤ k'

A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.

Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.

Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.

Sucesiones acotadas

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.

k ≤ a_n ≤ K'

TALLER EN CLASE:

A.  Hallar el término general de las siguientes sucesiones y clasificarlas

1

2

3

4

5

6

B.   Hallar los primeros 5 términos de cada una de las siguientes sucesiones y clasificarlas

1.    a_n

2.   a_n = 3n+5

3.    a_n

BIENVENIDOS ¡DIOS LES BENDIGA!

Con el fin de desarrollar la Unidad Didáctica sobre las CÓNICAS. se ha creado este blogger, para que los estudiantes de grado décimo y otros interesados en este tema puedan tener una ayuda bien estructuradas sobre cada una de las cónicas; puedes tener acceso de forma sencilla a cada una de las cuatro cónicas, tienes a la mano definiciones, ecuaciones, gráficas, elementos fundamentales, ejemplos y vídeos donde te explicaran sobre construcción gráfica, detalles en la solución de ejercicios.

¡EXITOS!

SECCIONES CÓNICAS

secciones   cónicas

DEFINICIÓN DE LAS CÓNICAS

SECCIONES CÓNICAS

Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.

La generatriz : es una cualquiera de las rectas oblicuas.

El vértice : es el punto central donde se cortan las generatrices.

Las hojas:  son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.

Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

La Ecuación General de una sección cónica:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

CLASIFICACIÓN DE LAS CÓNICAS

LAS CÓNICAS SE CLASIFICAN EN:

 

CIRCUNFERENCIA
 ELIPSE

PARÁBOLA

HIPÉRBOLA



OBSERVA LOS CORTES DEL CONO Y LA FIGURAQUE SE FORMA

LA CIRCUNFERENCIA

CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Centro de la circunferencia: El centro es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio de la circunferencia: El radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

Cuerda: La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro: El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. El diámetro mide el doble del radio.

Arco: Un arco es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.  Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.

Semicircunferencia: Una semicircunferencia es cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.

De la ecuación ordinaria a la ecuación general

Si en esta ecuación ordinaria ─cuyo primer miembro (lado izquierdo) está formado por la suma de dos cuadrados de binomio─, eliminamos los paréntesis desarrollando dichos binomios, pasamos todos los términos al primer miembro y la igualamos a cero, tendremos:
x² ─ 2ax + a² + y² ─ 2by + b² ─  r² = 0   ecuación que ordenada sería
x² + y² ─ 2ax ─ 2by + a² + b² ─ r²  = 0
Si para tener una ecuación más sintetizada hacemos las siguientes asignaciones:
─ 2a = D, 
─ 2b = E, 
a² + b² ─ r² = F 
la ecuación quedaría expresada de la forma:
x² + y² + Dx + Ey + F = 0  conocida como Ecuación General de la Circunferencia, la cual debe cumplir las siguientes condiciones para serlo:
No existe término en xy
Los coeficientes de x² e y² son iguales.
Si D = ─ 2a    entonces  
Si E = ─ 2b    entonces  
Si F = a² + b² ─  r² entonces
Además, otra condición necesaria para que una ecuación dada represente una circunferencia es que:

                         a² + b² ─ F > 0  (a² + b² ─ F debe ser mayor que cero)
Nota:
Para simplificar la ecuación general de la circunferencia (x² + y² ─ 2ax ─ 2by + a² + b² ─ r²  = 0) algunos textos o docentes utilizan otra convención y hacen:
─ 2a = A, 
─ 2b = B,
a² + b² ─ r² = C para tener finalmente
x² + y² + Ax + By + C = 0   que es lo mismo que x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Ecuación reducida de la circunferencia

Volviendo a nuestra ecuación ordinaria (x ─ a)² + (y ─ b)² = r² , debemos consignar que si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas (0, 0) la ecuación queda reducida a:
(x ─ a)² + (y ─ b)² = r²
(x ─ 0)² + (y ─ 0)² = r²
x² + y² = r²
EJEMPLO:
http://www.vitutor.com/geo/coni/fActividades.htmlDiapostiva las conicas

LA ELIPSE

LA ELIPSE

Una elipse es una circunferencia aplastada.

Una circunferencia tiene un centro, pero una elipse tiene dos focos ("A" y "B" abajo).

Definición Una elipse es el conjunto de todos los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es una constante. Así que, no importa dónde estés en la elipse, puedes sumar las distancias al punto "A" y al punto "B" y siempre saldrá lo mismo. (Los puntos "A" y "B" se llaman los focos de la elipse)

http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/elipse.html 

La elipse se puede tomar  la posición horizontal o vertical

dependiendo del eje  mayor 

La ecuación de una elipse con semieje mayor a, y semieje menor b, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas es: 

x²/a²  + y²/b² = 1

Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y ;     La ecuación de una elipse con semieje mayor b, y semieje menor a,, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de ordenadas es:  

x²/b²  + y²/a² = 1

ELEMENTOS DE LA ELIPSE

Focos: Son los puntos Fy F´

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos os focos.

Eje secundario:  Es la mediatriz del segmento FF'.

Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

Distancia focal:  Es el segmento segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

Eje menor: Es el segmento segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría

http://www.youtube.com/watch?v=rPJophokZXg

Ejemplo:  Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por:

25x2 + 4y2 = 100

Solución:

La ecuación: 25x^2 + 4y^2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes:

x^2/4 +y^2/25 = 1 (porqué?

 La última ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es b = 5 y eje menor es a = 2. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y.

De otro lado, , de donde y en consecuencia, los focos se encuentran localizados en los puntos y .

Además, los vértices de la elipse son los puntos: V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).

La figura recoge toda la información obtenida

http://www.youtube.com/watch?v=Hf-Mown3aOE